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Bienvenidos a mi blog. Aqui les mostrare todo lo que aprendo en mis clases con el profesor Cantoral, y una que otra aportacion mia.

miércoles, 26 de enero de 2011

Mapeos logísticos

Mapa logístico es a polinómico el traz de grado 2, citado a menudo como ejemplo arquetipo de cómo complejo, caótico el comportamiento puede presentarse de muy simple no linear ecuaciones dinámicas. El mapa fue popularizado en un seminal 1976 papel del biólogo Roberto puede, en parte como análogo modelo demográfico del tiempo discreto a la ecuación logística primero creada cerca Pierre François Verhulst. Matemáticamente, se escribe el mapa logístico

donde:

$x_n$ es un número entre cero y uno, y representa a población en el año n, y por lo tanto $x_0$ representa a población inicial (en el año 0)
r es un número positivo, y representa una tarif
a combinada para la reproducción y el hambre.
Esta ecuación de diferencia no lineal se piensa para capturar dos efectos.

reproducción donde la población aumentará en una tarifa proporcional a la población actual cuando el tamaño de la población es pequeño.
hambre (mortalidad densidad-dependiente) dond
e la tarifa de crecimiento disminuirá en una tarifa proporcional al valor obtenido tomando a la “capacidad de carga teórica” del ambiente menos la población actual.
Sin embargo, pues un modelo demográfico el mapa logístico tiene el problema patológico que algunas condiciones de la inicial y valores de parámetro conducen a los tamaños negativos de la población. Este problema no aparece en el más viejo Modelo de Ricker, que también exhibe dinámica caótica.


CAOS Y EL MAPA LOGÍSTICO.

La simplicidad relativa del mapa logístico le hace un punto excelente de entrada en una consideración del concepto del caos. Una descripci
ón áspera del caos es que los sistemas caóticos exhiben una gran sensibilidad para firmar con iniciales condiciones -- una característica del mapa
logístico para la mayoría de los valores de r entre cerca de 3.57 y 4 (según lo observado arriba). Una fuente común de tal sensibilidad a las condiciones iniciales es que el mapa representa un plegamiento y estirar repetidos del espacio en el
cual se define. En el caso del mapa logístico, cuadrático ecuación de diferencia (1) describirlo se puede pensar en como operación estirar-y-que do
bla en el intervalo (0.1).

La figura siguiente ilustra estirar y plegando una secuencia de itera del mapa. Calcule (a), izquierdo, da un de dos dimensiones fase diagrama del mapa logístico para r=4, y demuestra claramente la curva cuadrática de la ecuación de
diferencia (1). Sin embargo, podemos encaje la misma secuencia en un espacio tridimensional de la
fase, para investigar la estructura más profunda del mapa. Calcule (b), la derecha, demuestra esto, demostrando cómo los puntos próximos comienzan inicialmente a divergir, particularmente en esas regiones de Xt el corresponder a las secciones más escarpadas del diagrama.

El este estirar-y-doblar apenas no produce una divergencia gradual de las secuencias de itera, solamente una divergencia exponencial (véase E
xponentes de Lyapunov), evidenciado también por complejidad y imprevisión del mapa logístico caótico. De hecho, la divergencia exponencial de secuencias de itera explica la conexión entre el caos y la imprevisión: un error pequeño en el estado inicial supuesto del sistema tenderá para corresponder a un error grande más adelante en su
evolución. Por lo tanto, las predicciones sobre los estados futuros se convierten progresivamente (de hecho, exponencial) peor cuando hay errores muy pequeños uniformes en nuestro conocimiento del estado inicial.

Puesto que el mapa se confina a un intervalo en la línea verdadera del número, su dimensión es inferior o igual unidad. Las estimaciones numéricas rinden a dimensión de la correlación de 0.500 ± 0.005 (Grassberger, 1983), a Dimensión de Hau
sdorff de cerca de 0.538 (Grassberger 1981), y dimensión de la información de 0.5170976… (Grassberger 1983) para r=3.5699456… (inicio del caos). Nota: Puede ser demostrado que la dimensión de la correlación está ciertamente entre 0.4
926 y 0.5024.

Es a menudo posible, sin embargo, hacer declaracione
s exactas y exactas sobre probabilidad de un estado futuro en un sistema caótico. Si a (posiblemente caótica) sistema dinámico tiene attractor, entonces existe a medida de la probabilidad eso da la proporción duradera de tiempo pasada por el sistema en las varias regiones del attractor. En el caso del mapa logístico con parámetro r = 4 y un estado inicial adentro (0.1), el attractor es también el intervalo (0.1) y la medida de la probabilidad corresponde a distribución beta con parámetros a = 0.5
y b = 0.5. La imprevisión no es aleatoriedad, pero en parecer de algunas circunstancias mucho ella. Por lo tanto, y afortunadamente, aunque sabemo
s muy poco sobre el estado inicial del mapa logístico (o de un cierto otro sistema caótico), nosotros podemos todavía decir algo sobre la distribución de estados un de largo plazo en el futuro, y utilizamos este conocimiento para informar decisiones de acuerdo con el estado del sistema.



1 comentario:

  1. Los sistemas dinámicos son un objeto de estudio de la ciencia moderna. Entre más pronto los estudien, mejor.

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