Comentario Final

Fue en el convivio de las fiestas patrias cuando el Dr. Cantoral se me acerco a mi y otros de mis compañeros para decirnos que el nos impartiría la materia de Pensamiento Lógico Heuristico y Creativo.

Desde la primera ves que oí nombrar PLHyC me imagine que en esta materia me iban a enseñar a resolver sudokus, a ponerme a jugar ajedrez, a resolver acertijos, a ver imágenes que escondían algo en su trasfondo etc.

En realidad, creo que al inicio de las primeras clases no diferí mucho de lo que yo me imaginaba, pero poco a poco la situación fue cambiando cuando el profesor Cantoral nos mostró el libro de texto, es decir, el libro de Polya.

Inicie muy entusiasmado, llegaba temprano a las clases, asistía a todas ellas, pero poco a poco fue menguando esto, ¿ Quién sabe porque? pero fue lo que paso.

En fin, dejando todo preámbulo, lo que me gusto mucho de la clase fue saber que por medio de la tecnología uno puede facilitarse varias cosas, ademas de que es una experiencia bonita.

El uso de las nuevas tecnologías me abrió un panorama novedoso, en el cual la comunicación era muy importante, tener mis notas de clase en la Internet, era muy útil y practico, aunque escribirlas no lo eran (creo que por eso escribí muy poco, aunque no me justifico).

En esta clase aprendí cosas nuevas y en realidad creo que si me fomento un pensamiento, lógico y creativo.

Gracias al apoyo del profesor Cantoral y a mis compañeros creo que cumplí gran parte del objetivo del curso, gracias a todos ellos, y nos vemos en el próximo semestre.

Mapeos logísticos

Mapa logístico es a polinómico el traz de grado 2, citado a menudo como ejemplo arquetipo de cómo complejo, caótico el comportamiento puede presentarse de muy simple no linear ecuaciones dinámicas. El mapa fue popularizado en un seminal 1976 papel del biólogo Roberto puede, en parte como análogo modelo demográfico del tiempo discreto a la ecuación logística primero creada cerca Pierre François Verhulst. Matemáticamente, se escribe el mapa logístico

donde:

$x_n$ es un número entre cero y uno, y representa a población en el año n, y por lo tanto $x_0$ representa a población inicial (en el año 0)

r es un número positivo, y representa una tarif

a combinada para la reproducción y el hambre.

Esta ecuación de diferencia no lineal se piensa para capturar dos efectos.

reproducción donde la población aumentará en una tarifa proporcional a la población actual cuando el tamaño de la población es pequeño.

hambre (mortalidad densidad-dependiente) dond

e la tarifa de crecimiento disminuirá en una tarifa proporcional al valor obtenido tomando a la “capacidad de carga teórica” del ambiente menos la población actual.

Sin embargo, pues un modelo demográfico el mapa logístico tiene el problema patológico que algunas condiciones de la inicial y valores de parámetro conducen a los tamaños negativos de la población. Este problema no aparece en el más viejo Modelo de Ricker, que también exhibe dinámica caótica.

CAOS Y EL MAPA LOGÍSTICO.

La simplicidad relativa del mapa logístico le hace un punto excelente de entrada en una consideración del concepto del caos. Una descripci

ón áspera del caos es que los sistemas caóticos exhiben una gran sensibilidad para firmar con iniciales condiciones -- una característica del mapa

logístico para la mayoría de los valores de r entre cerca de 3.57 y 4 (según lo observado arriba). Una fuente común de tal sensibilidad a las condiciones iniciales es que el mapa representa un plegamiento y estirar repetidos del espacio en el

cual se define. En el caso del mapa logístico, cuadrático ecuación de diferencia (1) describirlo se puede pensar en como operación estirar-y-que do

bla en el intervalo (0.1).

La figura siguiente ilustra estirar y plegando una secuencia de itera del mapa. Calcule (a), izquierdo, da un de dos dimensiones fase diagrama del mapa logístico para r=4, y demuestra claramente la curva cuadrática de la ecuación de

diferencia (1). Sin embargo, podemos encaje la misma secuencia en un espacio tridimensional de la

fase, para investigar la estructura más profunda del mapa. Calcule (b), la derecha, demuestra esto, demostrando cómo los puntos próximos comienzan inicialmente a divergir, particularmente en esas regiones de Xt el corresponder a las secciones más escarpadas del diagrama.

El este estirar-y-doblar apenas no produce una divergencia gradual de las secuencias de itera, solamente una divergencia exponencial (véase E

xponentes de Lyapunov), evidenciado también por complejidad y imprevisión del mapa logístico caótico. De hecho, la divergencia exponencial de secuencias de itera explica la conexión entre el caos y la imprevisión: un error pequeño en el estado inicial supuesto del sistema tenderá para corresponder a un error grande más adelante en su

evolución. Por lo tanto, las predicciones sobre los estados futuros se convierten progresivamente (de hecho, exponencial) peor cuando hay errores muy pequeños uniformes en nuestro conocimiento del estado inicial.

Puesto que el mapa se confina a un intervalo en la línea verdadera del número, su dimensión es inferior o igual unidad. Las estimaciones numéricas rinden a dimensión de la correlación de 0.500 ± 0.005 (Grassberger, 1983), a Dimensión de Hau

sdorff de cerca de 0.538 (Grassberger 1981), y dimensión de la información de 0.5170976… (Grassberger 1983) para r=3.5699456… (inicio del caos). Nota: Puede ser demostrado que la dimensión de la correlación está ciertamente entre 0.4

926 y 0.5024.

Es a menudo posible, sin embargo, hacer declaracione

s exactas y exactas sobre probabilidad de un estado futuro en un sistema caótico. Si a (posiblemente caótica) sistema dinámico tiene attractor, entonces existe a medida de la probabilidad eso da la proporción duradera de tiempo pasada por el sistema en las varias regiones del attractor. En el caso del mapa logístico con parámetro r = 4 y un estado inicial adentro (0.1), el attractor es también el intervalo (0.1) y la medida de la probabilidad corresponde a distribución beta con parámetros a = 0.5

y b = 0.5. La imprevisión no es aleatoriedad, pero en parecer de algunas circunstancias mucho ella. Por lo tanto, y afortunadamente, aunque sabemo

s muy poco sobre el estado inicial del mapa logístico (o de un cierto otro sistema caótico), nosotros podemos todavía decir algo sobre la distribución de estados un de largo plazo en el futuro, y utilizamos este conocimiento para informar decisiones de acuerdo con el estado del sistema.

Demostración del Teorema de Pitagoras según Garfield.

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos,5 desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

igualando:

lo que finalmente nos da c² = a² + b², y el teorema está demostrado.

Cubo de Rubik

El cubo de Rubik (o cubo mágico, como se conoce en algunos países) es un rompecabezas mecánico inventado por el escultor y profesor de arquitecturahúngaro Ernö Rubik en 1974.1 Se trata de un conocido rompecabezas cuyas caras están divididas en cuadrados de un mismo color que se pueden cambiar de posición. El objetivo de resolver el rompecabezas se consigue al colocar todos los cuadrados de cada cara del cubo con el mismo color.

Se ha estimado que se han vendido más de 350 millones de cubos de Rubik o imitaciones en todo el mundo. Su sencillo mecanismo sorprende tanto desde el punto de vista mecánico, al estudiar su interior, como por la complejidad de las combinaciones que se consiguen al girar sus caras. El cubo celebró su 25º aniversario en2005 por lo que salió a la venta una edición especial del mismo en la que la cara blanca fue remplazada por una reflejante en la que se leía "Rubik's Cube 1980-2005".

En el cubo típico, cada cara está cubierta por nueve cuadrados de un color sólido. Cuando está resuelto, cada cara es de un mismo color. Sin embargo existen variaciones con otro número de cuadrados por cara. Las principales versiones que hay son las siguientes: el 2x2x2 "Cubo de bolsillo", el 3x3x3 el cubo de Rubik estándar, el 4x4x4 (La venganza de Rubik), el 5x5x5 (El Cubo del Profesor) y desde septiembre de 2008 el 6x6x6 (V-Cube 6) y el 7x7x7 (V-Cube 7) de Verdes

Soluciones.

Muchas soluciones para el cubo de Rubik se han descubierto de manera independiente. El método más popular fue desarrollado por David Singmaster y publicado en el libro "Notas sobre el Cubo Mágico de Rubik" en 1981. Esta solución consiste en resolver el Cubo capa por capa: a la que se llama Superior, se resuelve primero, seguida de la de en medio, y por último la Inferior. Después de cierta práctica es posible resolver el cubo en menos de 1 minuto. Otros métodos son, por ejemplo, "esquinas primero" y métodos que combinan varios métodos.

Se han desarrollado soluciones rápidas para resolver el cubo lo más rápido posible. La solución rápida más común fue desarrollada por Jessica Fridrich. Es un método muy eficiente capa por capa que requiere una mayor cantidad de algoritmos, especialmente para orientar y permutar la última capa. Las esquinas de la primera capa y las aristas

de la segunda capa se resuelven simultáneamente, cada esquema se empareja con un borde de la segunda capa. Otra solución bien conocida fue desarrollada por Lars Petrus. En ese método una sección de 2x2x2 se resuelve primero, seguida de otra de 2x2x3, y luego los bordes colocados incorrectamente se resuelven usando un algoritmo de tres movimientos que elimina la necesidad de un posible algoritmo de 32 movimientos. Entre las ventajas de este método es que tiende a dar soluciones en menos movimientos, por esa razón, el método es popular para competencias por número de movimientos.

Las soluciones siguen una serie de pasos e incluyen un conjunto de algoritmos para cada paso. Un algoritmo, también conocido como proceso u operador, es una serie de giros que lleva a cabo un objetivo específico. Por ejemplo, un algoritmo puede intercambiar las posiciones de tres esquinas, dejando el resto de las piezas en su mismo lugar. Las soluciones básicas requieren aprender por lo menos cuatro o cinco algoritmos, pero son por lo general ineficientes, necesitando alrededor de 100 giros para resolver el cubo completo de 3x3x3. En comparación, la solución avanzada de Fridrich requiere aprender 78 algoritmos (algoritmos únicamente para la última capa) pero permite resolver el cubo en un promedio de 55 movimientos. Un tipo diferente de solución es la desarrollada por Ryan Heise, la cual no utiliza algoritmos, sino más bien enseña un grupo de principios fundamentales que se pueden usar para resolver el cubo en menos de 40 movimientos.

Enlaces:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=rubik's+cube

http://mathworld.wolfram.com/RubiksCube.html

Teorema Fundamental del Cálculo.

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Karl Popper

..Porque fue mi maestro quien me enseñó no solamente cuan poco sabía, sino también que cualquiera que fuese el tipo de sabiduría a la que yo pudiese aspirar jamás, no podría consistir en otra cosa que en percatarme más plenamente de la infinitud de mi ignorancia.

Karl Popper fue hijo del abogado judío Simon Siegmund Carl Popper, nacido en Praga, y de su esposa Jenny Schiff. De la familia Schiff provenían de varias personalidades significativas de los siglos XIX y XX tales como el director de orquesta Bruno Walter.

En la Viena de principios del siglo XX que vio nacer a Karl Raimund Popper, la situación de los judíos era compleja: por un lado pertenecían a las capas medias y altas de la sociedad, ocupando con frecuencia posiciones destacadas en la economía y la política: por ejemplo, el acomodado Simon Siegmund colaboró estrechamente con el alcalde liberal Raimund Grübl. Pero por otra parte eran habituales las demostraciones cotidianas de antisemitismo.

Cuando Karl Popper comenzó sus estudios universitarios en la década del 1920 la escena política estaba dominada efímeramente por la izquierda: florecía entonces la llamada Viena Roja. También Popper, interesado principalmente en la pedagogía política, se implicó en este movimiento, ingresando en las juventudes socialistas. Brevemente llegó a formar parte, incluso, del partido comunista. Sin embargo tras un violento enfrentamiento entre los comunistas y la policía vienesa en el que perecieron ocho personas, Popper se alejó rápidamente del comunismo.

Tras presentar en 1928 una tesis doctoral fuertemente matemática dirigida por el psicólogo y lingüista Karl Bühler, Popper adquirió en 1929 la capacitación para dar lecciones universitarias de matemáticas y física. En estos años tomó contacto con el llamado Círculo de Viena, aunque siempre cuestionó algunos de los postulados más significativos de este grupo de pensadores, lo cual dificultó su integración en el mismo. En cualquier caso, el Círculo se vio influido por la fundamentada crítica de Popper y de hecho La lógica de la investigación científica (en alemán Logik der Forschung), principal contribución de Popper a la teoría de la ciencia, apareció por primera vez en una serie de publicaciones del propio círculo vienés, a pesar de que contenía una moderada crítica al positivismo de esta comunidad de filósofos.

La obra fue recibida como fruto de las discusiones del círculo, lo que llevó a muchos a calificar equivocadamente a Popper como positivista.

El ascenso del nacionalsocialismo en Austria llevó finalmente a la disolución del Círculo de Viena. En 1936 su fundador Moritz Schlick fue asesinado por un estudiante, lo que fue abiertamente celebrado por la prensa cercana al nacionalsocialismo. En 1937, tras la toma del poder por los partidarios de Hitler, Popper, ante la amenazante situación política se exilió en Nueva Zelanda, tras intentar en vano emigrar a Estados Unidos y Gran Bretaña.

En el Canterbury College en Christchurch, Popper vivió aislado y hasta cierto punto desconectado de un mundo que se precipitaba entonces en el torbellino de la Segunda Guerra Mundial. En este entorno Popper redactó su La sociedad abierta y sus enemigos (en alemán Die offene Gesellschaft und ihre Feinde). También de aquella época data su amistad y colaboración con el neurobiólogo John C. Eccles, junto al que escribiría El Yo y el cerebro en 1977.

Tras la guerra, en 1946, Popper ingresó como profesor de filosofía en la London School of Economics and Political Science. El sociólogo y economista liberal Friedricht August von Hayek fue uno de los principales valedores de Popper para la concesión de esa plaza. Sin embargo, la relación entre ambos pensadores es aún controvertida. A pesar de que ambos mantenían posiciones metodológicas parecidas y de que Popper hizo suyos algunos conceptos fundamentales de las obras de Hayek, tales como elprincipio del orden espontáneo, lo cierto es que Popper desconfiaba de los mecanismos puros del mercado libre que abanderaba Hayek, predicando más bien ciertaintervencionista que no desembocara, en cualquier caso, en el control o en la propiedad estatal.

En 1969 se retiró de la vida académica activa, pasando a la categoría de profesor emérito, a pesar de lo cual continuó publicando hasta su muerte, el 17 de septiembre de1994 en East Croydon (Londres).

Los logros filosóficos de Karl Popper le valieron numerosos reconocimientos, tales como ser nombrado caballero por la reina Isabel II del Reino Unido en 1969. Recibió la insignia de Compañero de Honor (Companion of Honour) en 1982, el premio Lippincott de la Asociación Norteamericana de Ciencias Políticas y el premio Sonning. Fue miembro de la Sociedad Mont Pelerin, una comunidad de estudios fundada por Hayek para promover una agenda política liberal, así como de la Royal Society de Londres, con el rango de miembro, y de la Academia Internacional de la Ciencia. Entre otras, cultivó la amistad del canciller alemán Helmut Schmidt. Algunos conocidos discípulos de Popper fueron Hans Albert, Imre Lakatos y Paul Feyerabend, que fue también uno de sus más firmes críticos.