Roger Penrose

Penrose en wikipedia

Aquí les dejo un link en donde encontraran el adoquinada de penrose en movimiento.

Diagonal de un paralelepípedo.

Problema: Determinar la diagonal de un paralelepípedo rectangular dados su longitud, su ancho y su altura.

Para resolver el problema haremos uso del teorema de pitagoras.

Tenemos el triangulo rectángulo ABD, del cual calcularemos el segmento z. $z=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$, para calcular x (diagonal del paralelepípedo) tomemos el triangulo rectángulo BED, entonces $x=\sqrt{a^2+b^2+h^2}$

Solución al problema de la parábola y la linea que la insersecta

La figura mostrada abajo la tome del libro de polya.

Yo les muestro una solucion diferente a la vista en clase.

Este dibujo lo hize yo.

EL problema dice asi: determinar el punto de intersección de una recta dada y una parabola cuyo foco y directriz son dadas.

Comenzaremos por la definicion de una parabola. Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de un punto fijo (foco) y de una recta fija (bisectriz)

Ahora bien, por la definicion anterior se tiene que: $FP=PQ$.

También sabemos que la incognita es un punto, es decir, buscaremos las coordenadas que lo componen. $P(x,y)$.

La recta d, la usaremos como eje $x$ es decir, $y=0$. La recta c, la expresaremos como, $y=mx+b$. Por último las coordenadas del foco F son $(0,f)$ suponiendo que el foco solo intersecte al eje de las ordenadas.

Como $PQ=y=FP$ entonces se tiene que $y=\sqrt{x^2+(y-f)^2}$ simplificando tenemos que $y=\frac{1}{2f}x^2+\frac{f}{2}$ por lo que ahora podemos plantear un sistema de ecuaciones $\LARGE\left.y=\frac{1}{2f}x^2+\frac{f}{2}\atop y=mx+b\right\}$
resolviendolo por el sistema de igualacion nos resulta una ecuacion cuadratica $\frac{1}{2f}x^2-mx+(\frac{f}{2}-b)=0$ la cual resolviendola por la formula general tenemos que $x_1=fm+f\sqrt{m^2-1+\frac{2b}{f}}$ y $x_2=fm-f\sqrt{m^2-1+\frac{2b}{f}}$

Sustituyendo x en la ecuación $y=mx+b$ tenemos que $y_1=fm^2+fm\sqrt{m^2-1+\frac{2b}{f}}+b$ y $y_2=fm^2+fm\sqrt{m^2-1+\grac{2b}{f}}+b$

Número de subconjuntos de un conjunto.

En una de las primeras clases que nos impartió el maestro Cantoral, a mi y a mis compañeros, nos enseño como determinar el numero de subconjuntos que conforman un conjunto, concluyendo que el número de subconjunto que conforman un conjunto se define en este termino: 2ⁿ, donde n es el número de elementos del conjunto, lo cual no se demostración en clase y por eso nos lo dejo a nosotros (yo y mis compañeros) como tarea y eh aquí la demostración.

Sea S un conjunto finito con n elmentos (|S|=n) entonces |P(S)|=2ⁿ

DEMOSTRACIÓN:

Caso n=0

Sea S el conjunto vacío, entonces |S|=0 y P(S)={φ}

Supongamos cierto si |S|=m y m es menor o igual que n, entonces |P(S)|=$2^{m}$

Sea |S' |=n+1

S' = {$a_0,a_1,...,a_{n-1},a_n$}

Por tanto

S' = {$a_0,a_1,...,a_{n-1}$} U {$a_n$}

Sea S = {$a_0,a_1,...,a_{n-1}$}

entonces

S' = S $\bigcup$ {$a^n$}

Tenemos que

P(S' ) = P(S $\bigcup${$a_n$}) = P(S) $\bigcup${P' $\bigcup${$a_n$} / P' $\in$P(S)}

Dado que ambos conjuntos son disjuntos tenemos que:

|P(S' )| = |P(S) $\bigcup$ {P' $\bigcup$ {$a_n$} / P' $\in$P(S)}| = |P(S)| + |{P' $\bigcup$ {$a_n$} / P'$\in$P(S)}| =$2^n$+$2^n$ =$2^{n+1}$