Demostración del Teorema de Pitagoras según Garfield.

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos,5 desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

igualando:

lo que finalmente nos da c² = a² + b², y el teorema está demostrado.

Cubo de Rubik

El cubo de Rubik (o cubo mágico, como se conoce en algunos países) es un rompecabezas mecánico inventado por el escultor y profesor de arquitecturahúngaro Ernö Rubik en 1974.1 Se trata de un conocido rompecabezas cuyas caras están divididas en cuadrados de un mismo color que se pueden cambiar de posición. El objetivo de resolver el rompecabezas se consigue al colocar todos los cuadrados de cada cara del cubo con el mismo color.

Se ha estimado que se han vendido más de 350 millones de cubos de Rubik o imitaciones en todo el mundo. Su sencillo mecanismo sorprende tanto desde el punto de vista mecánico, al estudiar su interior, como por la complejidad de las combinaciones que se consiguen al girar sus caras. El cubo celebró su 25º aniversario en2005 por lo que salió a la venta una edición especial del mismo en la que la cara blanca fue remplazada por una reflejante en la que se leía "Rubik's Cube 1980-2005".

En el cubo típico, cada cara está cubierta por nueve cuadrados de un color sólido. Cuando está resuelto, cada cara es de un mismo color. Sin embargo existen variaciones con otro número de cuadrados por cara. Las principales versiones que hay son las siguientes: el 2x2x2 "Cubo de bolsillo", el 3x3x3 el cubo de Rubik estándar, el 4x4x4 (La venganza de Rubik), el 5x5x5 (El Cubo del Profesor) y desde septiembre de 2008 el 6x6x6 (V-Cube 6) y el 7x7x7 (V-Cube 7) de Verdes

Soluciones.

Muchas soluciones para el cubo de Rubik se han descubierto de manera independiente. El método más popular fue desarrollado por David Singmaster y publicado en el libro "Notas sobre el Cubo Mágico de Rubik" en 1981. Esta solución consiste en resolver el Cubo capa por capa: a la que se llama Superior, se resuelve primero, seguida de la de en medio, y por último la Inferior. Después de cierta práctica es posible resolver el cubo en menos de 1 minuto. Otros métodos son, por ejemplo, "esquinas primero" y métodos que combinan varios métodos.

Se han desarrollado soluciones rápidas para resolver el cubo lo más rápido posible. La solución rápida más común fue desarrollada por Jessica Fridrich. Es un método muy eficiente capa por capa que requiere una mayor cantidad de algoritmos, especialmente para orientar y permutar la última capa. Las esquinas de la primera capa y las aristas

de la segunda capa se resuelven simultáneamente, cada esquema se empareja con un borde de la segunda capa. Otra solución bien conocida fue desarrollada por Lars Petrus. En ese método una sección de 2x2x2 se resuelve primero, seguida de otra de 2x2x3, y luego los bordes colocados incorrectamente se resuelven usando un algoritmo de tres movimientos que elimina la necesidad de un posible algoritmo de 32 movimientos. Entre las ventajas de este método es que tiende a dar soluciones en menos movimientos, por esa razón, el método es popular para competencias por número de movimientos.

Las soluciones siguen una serie de pasos e incluyen un conjunto de algoritmos para cada paso. Un algoritmo, también conocido como proceso u operador, es una serie de giros que lleva a cabo un objetivo específico. Por ejemplo, un algoritmo puede intercambiar las posiciones de tres esquinas, dejando el resto de las piezas en su mismo lugar. Las soluciones básicas requieren aprender por lo menos cuatro o cinco algoritmos, pero son por lo general ineficientes, necesitando alrededor de 100 giros para resolver el cubo completo de 3x3x3. En comparación, la solución avanzada de Fridrich requiere aprender 78 algoritmos (algoritmos únicamente para la última capa) pero permite resolver el cubo en un promedio de 55 movimientos. Un tipo diferente de solución es la desarrollada por Ryan Heise, la cual no utiliza algoritmos, sino más bien enseña un grupo de principios fundamentales que se pueden usar para resolver el cubo en menos de 40 movimientos.

Enlaces:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=rubik's+cube

http://mathworld.wolfram.com/RubiksCube.html

Teorema Fundamental del Cálculo.

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Karl Popper

..Porque fue mi maestro quien me enseñó no solamente cuan poco sabía, sino también que cualquiera que fuese el tipo de sabiduría a la que yo pudiese aspirar jamás, no podría consistir en otra cosa que en percatarme más plenamente de la infinitud de mi ignorancia.

Karl Popper fue hijo del abogado judío Simon Siegmund Carl Popper, nacido en Praga, y de su esposa Jenny Schiff. De la familia Schiff provenían de varias personalidades significativas de los siglos XIX y XX tales como el director de orquesta Bruno Walter.

En la Viena de principios del siglo XX que vio nacer a Karl Raimund Popper, la situación de los judíos era compleja: por un lado pertenecían a las capas medias y altas de la sociedad, ocupando con frecuencia posiciones destacadas en la economía y la política: por ejemplo, el acomodado Simon Siegmund colaboró estrechamente con el alcalde liberal Raimund Grübl. Pero por otra parte eran habituales las demostraciones cotidianas de antisemitismo.

Cuando Karl Popper comenzó sus estudios universitarios en la década del 1920 la escena política estaba dominada efímeramente por la izquierda: florecía entonces la llamada Viena Roja. También Popper, interesado principalmente en la pedagogía política, se implicó en este movimiento, ingresando en las juventudes socialistas. Brevemente llegó a formar parte, incluso, del partido comunista. Sin embargo tras un violento enfrentamiento entre los comunistas y la policía vienesa en el que perecieron ocho personas, Popper se alejó rápidamente del comunismo.

Tras presentar en 1928 una tesis doctoral fuertemente matemática dirigida por el psicólogo y lingüista Karl Bühler, Popper adquirió en 1929 la capacitación para dar lecciones universitarias de matemáticas y física. En estos años tomó contacto con el llamado Círculo de Viena, aunque siempre cuestionó algunos de los postulados más significativos de este grupo de pensadores, lo cual dificultó su integración en el mismo. En cualquier caso, el Círculo se vio influido por la fundamentada crítica de Popper y de hecho La lógica de la investigación científica (en alemán Logik der Forschung), principal contribución de Popper a la teoría de la ciencia, apareció por primera vez en una serie de publicaciones del propio círculo vienés, a pesar de que contenía una moderada crítica al positivismo de esta comunidad de filósofos.

La obra fue recibida como fruto de las discusiones del círculo, lo que llevó a muchos a calificar equivocadamente a Popper como positivista.

El ascenso del nacionalsocialismo en Austria llevó finalmente a la disolución del Círculo de Viena. En 1936 su fundador Moritz Schlick fue asesinado por un estudiante, lo que fue abiertamente celebrado por la prensa cercana al nacionalsocialismo. En 1937, tras la toma del poder por los partidarios de Hitler, Popper, ante la amenazante situación política se exilió en Nueva Zelanda, tras intentar en vano emigrar a Estados Unidos y Gran Bretaña.

En el Canterbury College en Christchurch, Popper vivió aislado y hasta cierto punto desconectado de un mundo que se precipitaba entonces en el torbellino de la Segunda Guerra Mundial. En este entorno Popper redactó su La sociedad abierta y sus enemigos (en alemán Die offene Gesellschaft und ihre Feinde). También de aquella época data su amistad y colaboración con el neurobiólogo John C. Eccles, junto al que escribiría El Yo y el cerebro en 1977.

Tras la guerra, en 1946, Popper ingresó como profesor de filosofía en la London School of Economics and Political Science. El sociólogo y economista liberal Friedricht August von Hayek fue uno de los principales valedores de Popper para la concesión de esa plaza. Sin embargo, la relación entre ambos pensadores es aún controvertida. A pesar de que ambos mantenían posiciones metodológicas parecidas y de que Popper hizo suyos algunos conceptos fundamentales de las obras de Hayek, tales como elprincipio del orden espontáneo, lo cierto es que Popper desconfiaba de los mecanismos puros del mercado libre que abanderaba Hayek, predicando más bien ciertaintervencionista que no desembocara, en cualquier caso, en el control o en la propiedad estatal.

En 1969 se retiró de la vida académica activa, pasando a la categoría de profesor emérito, a pesar de lo cual continuó publicando hasta su muerte, el 17 de septiembre de1994 en East Croydon (Londres).

Los logros filosóficos de Karl Popper le valieron numerosos reconocimientos, tales como ser nombrado caballero por la reina Isabel II del Reino Unido en 1969. Recibió la insignia de Compañero de Honor (Companion of Honour) en 1982, el premio Lippincott de la Asociación Norteamericana de Ciencias Políticas y el premio Sonning. Fue miembro de la Sociedad Mont Pelerin, una comunidad de estudios fundada por Hayek para promover una agenda política liberal, así como de la Royal Society de Londres, con el rango de miembro, y de la Academia Internacional de la Ciencia. Entre otras, cultivó la amistad del canciller alemán Helmut Schmidt. Algunos conocidos discípulos de Popper fueron Hans Albert, Imre Lakatos y Paul Feyerabend, que fue también uno de sus más firmes críticos.

Roger Penrose

Penrose en wikipedia

Aquí les dejo un link en donde encontraran el adoquinada de penrose en movimiento.

Diagonal de un paralelepípedo.

Problema: Determinar la diagonal de un paralelepípedo rectangular dados su longitud, su ancho y su altura.

Para resolver el problema haremos uso del teorema de pitagoras.

Tenemos el triangulo rectángulo ABD, del cual calcularemos el segmento z. $z=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$, para calcular x (diagonal del paralelepípedo) tomemos el triangulo rectángulo BED, entonces $x=\sqrt{a^2+b^2+h^2}$

Solución al problema de la parábola y la linea que la insersecta

La figura mostrada abajo la tome del libro de polya.

Yo les muestro una solucion diferente a la vista en clase.

Este dibujo lo hize yo.

EL problema dice asi: determinar el punto de intersección de una recta dada y una parabola cuyo foco y directriz son dadas.

Comenzaremos por la definicion de una parabola. Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de un punto fijo (foco) y de una recta fija (bisectriz)

Ahora bien, por la definicion anterior se tiene que: $FP=PQ$.

También sabemos que la incognita es un punto, es decir, buscaremos las coordenadas que lo componen. $P(x,y)$.

La recta d, la usaremos como eje $x$ es decir, $y=0$. La recta c, la expresaremos como, $y=mx+b$. Por último las coordenadas del foco F son $(0,f)$ suponiendo que el foco solo intersecte al eje de las ordenadas.

Como $PQ=y=FP$ entonces se tiene que $y=\sqrt{x^2+(y-f)^2}$ simplificando tenemos que $y=\frac{1}{2f}x^2+\frac{f}{2}$ por lo que ahora podemos plantear un sistema de ecuaciones $\LARGE\left.y=\frac{1}{2f}x^2+\frac{f}{2}\atop y=mx+b\right\}$
resolviendolo por el sistema de igualacion nos resulta una ecuacion cuadratica $\frac{1}{2f}x^2-mx+(\frac{f}{2}-b)=0$ la cual resolviendola por la formula general tenemos que $x_1=fm+f\sqrt{m^2-1+\frac{2b}{f}}$ y $x_2=fm-f\sqrt{m^2-1+\frac{2b}{f}}$

Sustituyendo x en la ecuación $y=mx+b$ tenemos que $y_1=fm^2+fm\sqrt{m^2-1+\frac{2b}{f}}+b$ y $y_2=fm^2+fm\sqrt{m^2-1+\grac{2b}{f}}+b$