La figura mostrada abajo la tome del libro de polya.
Yo les muestro una solucion diferente a la vista en clase.
Este dibujo lo hize yo.
EL problema dice asi: determinar el punto de intersección de una recta dada y una parabola cuyo foco y directriz son dadas.
Comenzaremos por la definicion de una parabola. Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de un punto fijo (foco) y de una recta fija (bisectriz)
Ahora bien, por la definicion anterior se tiene que: $FP=PQ$.
También sabemos que la incognita es un punto, es decir, buscaremos las coordenadas que lo componen. $P(x,y)$.
La recta d, la usaremos como eje $x$ es decir, $y=0$. La recta c, la expresaremos como, $y=mx+b$. Por último las coordenadas del foco F son $(0,f)$ suponiendo que el foco solo intersecte al eje de las ordenadas.
Como $PQ=y=FP$ entonces se tiene que $y=\sqrt{x^2+(y-f)^2}$ simplificando tenemos que $y=\frac{1}{2f}x^2+\frac{f}{2}$ por lo que ahora podemos plantear un sistema de ecuaciones $\LARGE\left.y=\frac{1}{2f}x^2+\frac{f}{2}\atop y=mx+b\right\}$
resolviendolo por el sistema de igualacion nos resulta una ecuacion cuadratica $\frac{1}{2f}x^2-mx+(\frac{f}{2}-b)=0$ la cual resolviendola por la formula general tenemos que $x_1=fm+f\sqrt{m^2-1+\frac{2b}{f}}$ y $x_2=fm-f\sqrt{m^2-1+\frac{2b}{f}}$
Sustituyendo x en la ecuación $y=mx+b$ tenemos que $y_1=fm^2+fm\sqrt{m^2-1+\frac{2b}{f}}+b$ y $y_2=fm^2+fm\sqrt{m^2-1+\grac{2b}{f}}+b$
